数据结构与算法简记--拓扑排序

拓扑排序


问题

一个完整的项目往往会包含很多代码源文件。编译器在编译整个项目的时候,需要按照依赖关系,依次编译每个源文件。比如,A.cpp 依赖 B.cpp,那在编译的时候,编译器需要先编译 B.cpp,才能编译 A.cpp。

解析

解决思路与“图”这种数据结构的一个经典算法“拓扑排序算法”有关

拓扑排序

凡是需要通过局部顺序来推导全局顺序的,一般都能用拓扑排序来解决。

具体实现

把源文件与源文件之间的依赖关系,抽象成一个有向图。

每个源文件对应图中的一个顶点,源文件之间的依赖关系就是顶点之间的边。

如果 a 先于 b 执行,也就是说 b 依赖于 a,那么就在顶点 a 和顶点 b 之间,构建一条从 a 指向 b 的边。

而且,这个图不仅要是有向图,还要是一个有向无环图,也就是不能存在像 a->b->c->a 这样的循环依赖关系。

因为图中一旦出现环,拓扑排序就无法工作了。

数据结构

实际上,拓扑排序本身就是基于有向无环图的一个算法

  • public class Graph {
      private int v; // 顶点的个数
      private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表
    
      public Graph(int v) {
        this.v = v;
        adj = new LinkedList[v];
        for (int i=0; i<v; ++i) {
          adj[i] = new LinkedList<>();
        }
      }
    
      public void addEdge(int s, int t) { // s先于t,边s->t
        adj[s].add(t);
      }
    }

算法实现

  •  Kahn 算法
    • 贪心算法思想
    • 定义数据结构的时候,如果 s 需要先于 t 执行,那就添加一条 s 指向 t 的边。所以,如果某个顶点入度为 0, 也就表示,没有任何顶点必须先于这个顶点执行,那么这个顶点就可以执行了。
      • 先从图中,找出一个入度为 0 的顶点,将其输出到拓扑排序的结果序列中(对应代码中就是把它打印出来),
      • 并且把这个顶点从图中删除(也就是把这个顶点可达的顶点的入度都减 1)。
      • 循环执行上面的过程,直到所有的顶点都被输出。
      • 最后输出的序列,就是满足局部依赖关系的拓扑排序。
      • public void topoSortByKahn() {
          int[] inDegree = new int[v]; // 统计每个顶点的入度
          for (int i = 0; i < v; ++i) {
            for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
              int w = adj[i].get(j); // i->w
              inDegree[w]++;
            }
          }
          LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
          for (int i = 0; i < v; ++i) {
            if (inDegree[i] == 0) queue.add(i);
          }
          while (!queue.isEmpty()) {
            int i = queue.remove();
            System.out.print("->" + i);
            for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
              int k = adj[i].get(j);
              inDegree[k]--;
              if (inDegree[k] == 0) queue.add(k);
            }
          }
        }
  • DFS 深度优先搜索算法
    • public void topoSortByDFS() {
        // 先构建逆邻接表,边s->t表示,s依赖于t,t先于s
        LinkedList<Integer> inverseAdj[] = new LinkedList[v];
        for (int i = 0; i < v; ++i) { // 申请空间
          inverseAdj[i] = new LinkedList<>();
        }
        for (int i = 0; i < v; ++i) { // 通过邻接表生成逆邻接表
          for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
            int w = adj[i].get(j); // i->w
            inverseAdj[w].add(i); // w->i
          }
        }
        boolean[] visited = new boolean[v];
        for (int i = 0; i < v; ++i) { // 深度优先遍历图
          if (visited[i] == false) {
            visited[i] = true;
            dfs(i, inverseAdj, visited);
          }
        }
      }
      
      private void dfs(
          int vertex, LinkedList<Integer> inverseAdj[], boolean[] visited) {
        for (int i = 0; i < inverseAdj[vertex].size(); ++i) {
          int w = inverseAdj[vertex].get(i);
          if (visited[w] == true) continue;
          visited[w] = true;
          dfs(w, inverseAdj, visited);
        } // 先把vertex这个顶点可达的所有顶点都打印出来之后,再打印它自己
        System.out.print("->" + vertex);
      }
    • 重要部分
      1. 通过邻接表构造逆邻接表。邻接表中,边 s->t 表示 s 先于 t 执行,也就是 t 要依赖 s。在逆邻接表中,边 s->t 表示 s 依赖于 t,s 后于 t 执行。为什么这么转化呢?这个跟我们这个算法的实现思想有关。
      2. 递归处理每个顶点。对于顶点 vertex 来说,我们先输出它可达的所有顶点,也就是说,先把它依赖的所有的顶点输出了,然后再输出自己。

复杂度

O(V+E)

引申

一个用法:检测环,即循环依赖

对于kahn算法,如果输出的顶点少于图中顶点个数,则说明存在环。

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