回溯算法详解[力扣46:全排列]

解决一个回溯问题,实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题:

1、路径:也就是已经做出的选择。

2、选择列表:也就是你当前可以做的选择。

3、结束条件:也就是到达决策树底层,无法再做选择的条件。

如果你不理解这三个词语的解释,没关系,我们后面会用「全排列」和「N 皇后问题」这两个经典的回溯算法问题来帮你理解这些词语是什么意思,现在你先留着印象。

代码方面,回溯算法的框架:

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归,在递归调用之前「做选择」,在递归调用之后「撤销选择」,特别简单。

什么叫做选择和撤销选择呢,这个框架的底层原理是什么呢?下面我们就通过「全排列」这个问题来解开之前的疑惑,详细探究一下其中的奥妙!

一、全排列问题
我们在高中的时候就做过排列组合的数学题,我们也知道 n 个不重复的数,全排列共有 n! 个。

PS:为了简单清晰起见,我们这次讨论的全排列问题不包含重复的数字。

那么我们当时是怎么穷举全排列的呢?比方说给三个数 [1,2,3],你肯定不会无规律地乱穷举,一般是这样:

先固定第一位为 1,然后第二位可以是 2,那么第三位只能是 3;然后可以把第二位变成 3,第三位就只能是 2 了;然后就只能变化第一位,变成 2,然后再穷举后两位……

其实这就是回溯算法,我们高中无师自通就会用,或者有的同学直接画出如下这棵回溯树:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

只要从根遍历这棵树,记录路径上的数字,其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。

为啥说这是决策树呢,因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在下图的红色节点上:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

你现在就在做决策,可以选择 1 那条树枝,也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢?因为 2 这个树枝在你身后,这个选择你之前做过了,而全排列是不允许重复使用数字的。

现在可以解答开头的几个名词:[2] 就是「路径」,记录你已经做过的选择;[1,3] 就是「选择列表」,表示你当前可以做出的选择;「结束条件」就是遍历到树的底层,在这里就是选择列表为空的时候。

如果明白了这几个名词,可以把「路径」和「选择」列表作为决策树上每个节点的属性,比如下图列出了几个节点的属性:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针,在这棵树上游走,同时要正确维护每个节点的属性,每当走到树的底层,其「路径」就是一个全排列。

再进一步,如何遍历一棵树?这个应该不难吧。回忆一下之前「学习数据结构的框架思维」写过,各种搜索问题其实都是树的遍历问题,而多叉树的遍历框架就是这样:

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍历需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍历需要的操作
}

而所谓的前序遍历和后序遍历,他们只是两个很有用的时间点,我给你画张图你就明白了:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行,后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

回想我们刚才说的,「路径」和「选择」是每个节点的属性,函数在树上游走要正确维护节点的属性,那么就要在这两个特殊时间点搞点动作:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

现在,你是否理解了回溯算法的这段核心框架?

for 选择 in 选择列表:
    # 做选择
    将该选择从选择列表移除
    路径.add(选择)
    backtrack(路径, 选择列表)
    # 撤销选择
    路径.remove(选择)
    将该选择再加入选择列表

我们只要在递归之前做出选择,在递归之后撤销刚才的选择,就能正确得到每个节点的选择列表和路径。

下面,直接看全排列代码:

List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

/* 主函数,输入一组不重复的数字,返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
    // 记录「路径」
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
    backtrack(nums, track);
    return res;
}

// 路径:记录在 track 中
// 选择列表:nums 中不存在于 track 的那些元素
// 结束条件:nums 中的元素全都在 track 中出现
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
    // 触发结束条件
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 排除不合法的选择
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        // 做选择
        track.add(nums[i]);
        // 进入下一层决策树
        backtrack(nums, track);
        // 取消选择
        track.removeLast();
    }
}

我们这里稍微做了些变通,没有显式记录「选择列表」,而是通过 nums 和 track 推导出当前的选择列表:

 回溯算法详解[力扣46:全排列]

至此,我们就通过全排列问题详解了回溯算法的底层原理。当然,这个算法解决全排列不是很高效,应为对链表使用 contains 方法需要 O(N) 的时间复杂度。有更好的方法通过交换元素达到目的,但是难理解一些,这里就不写了,有兴趣可以自行搜索一下。

但是必须说明的是,不管怎么优化,都符合回溯框架,而且时间复杂度都不可能低于 O(N!),因为穷举整棵决策树是无法避免的。这也是回溯算法的一个特点,不像动态规划存在重叠子问题可以优化,回溯算法就是纯暴力穷举,复杂度一般都很高。


链接:https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong-2/
来源:力扣(LeetCode)

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