python梯度下降法的简单示例

梯度下降法的原理和公式这里不讲,就是一个直观的、易于理解的简单例子。

1.最简单的情况,样本只有一个变量,即简单的(x,y)。多变量的则可为使用体重或身高判断男女(这是假设,并不严谨),则变量有两个,一个是体重,一个是身高,则可表示为(x1,x2,y),即一个目标值有两个属性。

2.单个变量的情况最简单的就是,函数hk(x)=k*x这条直线(注意:这里k也是变化的,我们的目的就是求一个最优的   k)。而深度学习中,我们是不知道函数的,也就是不知道上述的k。   这里讨论单变量的情况:

在不知道k的情况下,我们是通过样本(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)来获取k。获取的k的好坏则有损失函数来衡量。

损失函数:就是你预测的值和真实值的差异大小(比如一个样本(1,1)他的真实值是1,而你预测的是0.5,则差异   比较大,如果你预测值为0.9999,则差异就比较小了)。

损失函数为定义如下(此处为单变量的情况)

   python梯度下降法的简单示例

目的是求使损失函数最小的变量k(注意和变量x区分),则将损失函数对k求导(多变量时为求偏导得梯度,这里单变量求导,其实不算梯度),求偏导如下:

   python梯度下降法的简单示例

然后迭代,迭代时有个步长alpha,(深度学习中貌似叫学习率)

  python梯度下降法的简单示例

3.例子     

假如我们得到样本(1,1),(2,2),(3,3).其实,由这三个样本可以得到函数为y = 1*x。此时损失函数为0.而机器是不知道的,所以我们需要训练。

下面是一段python代码。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x=np.arange(-5, 5, 0.001)
y=(((x-1)*(x-1)+(x*2-2)*(x*2-2)+(x*3-3)*(x*3-3))*1/6.0)
plt.plot(x,y) 
#plt.show()  #显示图形 
 

def sum(x):
  return ((x*1-1)*1+(x*2-2)*2+(x*3-3)*3)
def fun(x):
  return ((1/3.0)*sum(x))
old = 0
new = 5
step = 0.01
pre = 0.00000001
 
def src_fun(x):
  print(((x-1)*(x-1)+(x*2-2)*(x*2-2)+(x*3-3)*(x*3-3))*1/6.0)
  
while abs(new-old)>pre:
  old = new
  #src_fun(old)   #输出每次迭代的损失值
  new = new - step*fun(old)
  
 
print(new)
print(src_fun(new))

下图是损失函数的图像,损失函数中变量是k。下图横坐标为k的不同取值,纵轴为对应的损失大小。由下图可以大致看出,当k为1时,损失函数值为0。注意:这里取的最优值k=1是在我们已有样本的情况下得出的,样本不同,k值自然不同。

python梯度下降法的简单示例

下面是print(new)和print(src_fun(new))的输出结果

python梯度下降法的简单示例

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