动态规划——最大连续子序列和

最大连续子序列和问题如下：

下面介绍动态规划的做法，复杂度为 O(n)。

步骤 1：令状态 dp[i]表示以 A[i]作为末尾的连续序列的最大和（这里是说 A[i]必须作为连续序列的末尾）。

步骤 2：做如下考虑：因为 dp[i]要求是必须以 A[i]结尾的连续序列，那么只有两种情况：

1. 1. 这个最大和的连续序列只有一个元素，即以 A[i]开始，以 A[i]结尾。
   2. 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处 A[p]开始 (p<i)，一直到 A[i]结尾。

对第一种情况，最大和就是 A[i]本身。

对第二种情况，最大和是 dp[i-1]+A[i]。

于是得到状态转移方程：

dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}

这个式子只和 i与 i之前的元素有关，且边界为 dp[0] = A[0]，由此从小到大枚举 i，即可得到整个 dp数组。接着输出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1]中的最大子即为最大连续子序列的和。

代码如下：

1 /*
 2     最大连续子序列和 
 3 */
 4 
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <math.h>
 8 #include <stdlib.h>
 9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define maxn 10010
13 int A[maxn], dp[maxn];    // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和 
14 
15 // 求较大值
16 int max(int a, int b) {
17     return a>b ? a : b; 
18 } 
19 
20 int main() {
21     int n, i, k;
22     scanf("%d", &n);
23     for(i=0; i<n; ++i) {        // 输入序列 
24         scanf("%d", &A[i]);
25     }
26     dp[0] = A[0];                // 边界
27     for(i=1; i<n; ++i) {
28         // 状态转移方程 
29         dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
30     } 
31     // 求最大连续子序列和 
32     k = dp[0];
33     for(i=1; i<n; ++i) {
34         if(dp[i] > k) {
35             k = dp[i];
36         }
37     }
38     printf("%d\n", k);        // 输出 
39 
40     return 0;
41 }

此处顺便介绍无后效性的概念。状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。针对本节问题来说，每次计算状态 dp[i]，都只会涉及 dp[i-1]，而不直接用到 dp[i-1]蕴含的历史消息。