MergeSort归并排序和利用归并排序计算出数组中的逆序对

首先先上LeetCode今天的每日一题(面试题51. 数组中的逆序对):

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。

//输入: [7,5,6,4]
//输出: 5

示例1

由于题目中已经给出数组长度为: 0 <= 数组长度 <= 50000, 所以如果单纯使用两个for循环(时间复杂度为 $O\left ( n^{2} \right )$ 暴力求解的话是一定会超时的。

在这里可以使用归并排序,并同时得出逆序对的总数,其中归并排序使用的是“分治法”,所以时间复杂度为 $O\left ( nlogn \right )$ ,而计算逆序对只需要在每次循环中进行一次计算,所以相当于在其中增加 $O\left ( 1 \right )$ 的时间复杂度,所以时间复杂度并不会变化,这个在后面会对计算方法会有详细的介绍,因为一开始自己写的时候也有在这里卡住

如下是归并排序的示意图,图是盗来的,但是觉得做的真的是太好看了,而且清楚明了,以下超链接为引用的原博客网址(https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6194356.html):

MergeSort归并排序和利用归并排序计算出数组中的逆序对MergeSort归并排序和利用归并排序计算出数组中的逆序对

相信看了这张图之后,整个归并排序的算法就已经非常清楚明了了,如下代码是只对于归并排序的实现,使用的是递归的方法:

public class mergeSort {
    public static void main(String args[]) {
        mergeSort a = new mergeSort();
        int[] numbers = new int[] {7,2,5,2,6,3,4,8};
        a.merge(0, numbers.length-1, numbers);
        for (int i : numbers) {
            System.out.println(i);
        }
    }
    public void merge(int left, int right, int[] numbers) {
        if(left < right) {
            int mid = (left + right)/2;
            merge(left, mid, numbers);
            merge(mid+1, right, numbers);;    
            mergeSort(left, right, numbers);
        }
    }
    public void mergeSort(int left, int right, int[] numbers) {
        //将数组分为左右两个部分,分别为[left, mid]和[mid+1, right]
        int mid = (left + right)/2;
        int i = left;
        int j = mid + 1;
        int[] temp = new int[right - left + 1];
        for(int k = 0 ; k < temp.length; k++) {
            //考虑如果数组左边已经到达尾端,则只需要将右边数组依次放入temp数组即可
            if(i == mid + 1) {
                temp[k] = numbers[j];
                j++;
            }
            //考虑如果数组右边已经到达尾端,则只需要将左边数组依次放入temp数组即可
            else if(j == right + 1) {
                temp[k] = numbers[i];
                i++;
            }
            //如果左边数组指向的数字大于右边数组指向的数字,则将右边数组指向的数字放入temp数组当中
            else if(numbers[i] > numbers[j]) {
                temp[k] = numbers[j];
                j++;
            }
            //反之亦然
            else {
                temp[k] = numbers[i];
                i++;
            }
        }
        //最后将排好序的temp数组重新放入原数组当中,记得起始位置是从numbers数组的left开始,而不是0
        for(int m = left, k = 0; m <= right; m++, k++) {
            numbers[m] = temp[k];
        }
    }
}

//最终结果为:2,2,3,4,5,6,7,8

归并排序的实现

那么,如何来计算出逆序对呢?那么我们就要思考,为什么在归并排序中就能计算出逆序对的数量。这就要观察每次用来排序的数组的特点了,由于排序是由从两个长度为1的数组开始进行的,所以就可以保证在每一次的递归过程中,我们需要进行排序的数组一定会有以下规律,即:

1. 将要排序的数组number的左右两个部分一定都是已经分别排好序了的,例如上图中需要排序的数组[4,5,7,8,1,2,3,6], 将这个数组分为左右两个部分[4,5,7,8]和[1,2,3,6],这两个数组是一定已经排好顺序了的。

2. 每个数字与其他数组都会正好比一次大小,例如上图中的数字4,它在这次的统计中,会跟1,2,3,6比,会发现有3组逆序对,而在那之后,这个4就再也不会跟这4给数字进行比较了,也就不会产生重复。

这时,你一定会问,那前面的5,7,8又是在什么时候进行比较的呢?其实在上一步,即当大的数组为[4,5,7,8]的时候,4就已经和7,8进行了比较,而在更前一步,4就和5进行了比较,所以就可以完美的不重复不遗漏统计所有数字的逆序对了。

既然不会重复,那我们也就只需要有一个计数器count来记录产生的逆序对的数量就行了,那么,怎么来计算这个逆序对的数量呢?

我一开始的错误想法是,左边数组的每一个数字和右边数字进行比较的时候,如果发现左边数字大于右边,那么count就+1,但发现统计的数量总是少于实际值,后来才发现了原因:

例如数组[2,2,4,534,6,8], 将其看为左右两个部分,可以发现当左边数组指针指向5的时候,右边数组的指针已经指向4了,那么其实本来数组中的5和3是并没有进行比较的,因此就会出现漏数的情况。

在观察了很久之后,终于发现了其中的规律:

假设左边数组指针为 $i$ , 右边数组指针为 $j$ , 如果发现 $ numbers[i] > numbers[j]$ , 那么对于右边数组的这个数字 $numbers[j]$ ,一定有左边数组的 $[i, mid]$ 位置的数字都会大于这个数字,因为这里两边的数组都是递增的,所以我们只需要每次发现 $numbers[i] > numbers[j]$ 之后,用 $count = count + (mid - i + 1)$ 统计即可。

注意:为了统计count的数量,一定要将方法中的返回值类型从 void 变为 int, 因为如果只是利用void方法传参的话,count的值是不会改变的。(如有错误,欢迎指正,应该是这个样子的吧)

最终利用归并排序计算逆序对的代码实现如下:

public class Merge_Sort {
    public static void main(String args[]) {
        Merge_Sort a = new Merge_Sort();
        int[] numbers = new int[] {4,2,5,2,6,3,4,8};
        int b = a.merge(0, numbers.length-1, numbers);
        System.out.println(b);
    }
    public int merge(int left, int right, int[] numbers) {
        if(left < right) {
            int mid = (left + right)/2;
            int count = merge(left, mid, numbers) + merge(mid+1, right, numbers);;    
            return mergeSort(left, right, numbers, count);
        }
        return 0;
        
    }
    public int mergeSort(int left, int right, int[] numbers, int count) {
        int mid = (left + right)/2;
        int i = left;
        int j = mid + 1;
        int[] temp = new int[right - left + 1];
        for(int k = 0 ; k < temp.length; k++) {
            if(i == mid + 1) {
                temp[k] = numbers[j];
                j++;
            }
            else if(j == right + 1) {
                temp[k] = numbers[i];
                i++;
            }
            else if(numbers[i] > numbers[j]) {
                temp[k] = numbers[j];
                j++;
                //count计数代码添加如下
                count = count + (mid - i + 1);
            }
            else {
                temp[k] = numbers[i];
                i++;
            }
            
        }
        for(int m = left, k = 0; m <= right; m++, k++) {
            numbers[m] = temp[k];
        }
        return count;
    }
}
//输出结果为8

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