桶排序、计数排序和基数排序

郭岚

2019-06-28

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桶排序、计数排序和基数排序这三种算法的时间复杂度都为 $O(n)$，因此，它们也被叫作线性排序（Linear Sort）。之所以能做到线性，是因为这三个算法是非基于比较的排序算法，都不涉及元素之间的比较操作。

1. 桶排序（Bucket Sort）？

1.1. 桶排序原理

桶排序，顾名思义，要用到“桶”。核心思想是将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶的数据再单独进行排序。桶内排完序后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。

桶排序、计数排序和基数排序

1.2. 桶排序的时间复杂度分析

如果要排序的数据有 $n$ 个，我们把它们均匀地划分到 $m$ 个桶内，每个桶内就有 $k = \frac{n}{m}$ 个元素。对每个桶内的数据进行快速排序，时间复杂度为 $O(klogk)$。$m$ 个桶排序时间复杂度就为 $O(m * klogk) = O(n * log\frac{n}{m})$。当桶的个数接近数据个数时，$O(log\frac{n}{m})$ 就是一个非常小的数，这个时候通排序的时间复杂度接近于 $O(n)$。

1.3. 桶排序的适用条件

桶排序看起来很优秀，但事实上，桶排序对排序数据的要求是非常苛刻的。

首先，要排序的数据需要很容易就能划分为 $m$ 个桶，并且桶与桶之间有着天然的大小顺序。
其次，数据在各个桶之间的分布是比较均匀的。
桶排序比较适合用在外部排序中。所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中，数据比较大而内存有限，无法将数据全部加载到内存中去。

1.4. 一个桶排序的实例

假如我们有 10 GB 的订单数据需要按照金额进行排序，但内存只有几百 MB ，这时候该怎么办呢？

我们先扫描一遍文件，确定订单金额的数据范围。
如果扫描后发现订单金额处于 1 万元到 10 万元之间，我们将所有订单按照金额划分到 100 个桶内，第一个桶数据范围为[1, 1000]，第二个桶数据范围为[1001, 2000]......，每个桶对应一个文件，同时将文件按照金额范围的大小顺序编号命名（如00、01、02...99）。
如果订单金额分布均匀，则每个文件包含大约 100 MB 的数据，我们可以将每个小文件读入到内存中，进行快速排序。然后，再按顺序从各个小文件读取数据，写入到另外一个文件，即是排序好的数据了。
如果订单分布不均，某一范围内数据特别多无法一次读入内存，则可以继续对此区间再进行划分，直到所有的文件都可以读入内存为止。

2. 计数排序（Counting Sort）？

2.1. 计数排序算法实现

计数排序可以看作是桶排序的一种特殊情况。当要排序的数据所处的范围并不大时，比如最大值为 $K$，这时候，我们可以把数据分为 $K$ 个桶，每个桶内的数据都是相同的，省掉了桶内排序的时间。
假设高考分数的范围为 [0, 750]，我们可以将考生的分数划分到 751 个桶内，然后再依次从桶内取出数据，就可以实现对考生成绩的排序了。因为只涉及到扫描遍历操作，因此时间复杂度为 $O(n)$。

但这个排序算法为什么叫计数排序呢，这是由计数排序算法的实现方法来决定的，我们来看一个简单的例子。

假设有 8 个考生，他们的分数范围为 [0, 5]。这 8 个考生的成绩我们放在一个数组中，A[8] = {2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3}。
我们用大小为 6 的数组代表 6 个桶来统计考生的成绩分布情况，其中下标表示考生的分数，数组内的值表示这个分数的考生个数。我们遍历一遍数组后，就可以得到 C[6] = {2, 0, 2, 3, 0, 1,}，得 0 分的共有 2 人，得 3 分的共有 3 人。
如下所示，成绩为 3 的考生共有 3 个，小于 3 分的考生共有 4 个，所以在排好序的数据 R[8] 中，3 的位置应该为 4，5 和 6 。

桶排序、计数排序和基数排序

而我们怎么得到这个位置呢？只需要对 C[6] 数组按顺序累计求和即可，这时候，C[6] 数组中的每个值就都表示小于等于它的值的个数了。

桶排序、计数排序和基数排序

接下来，我们从后到前依次扫描数组 A[8]。当扫描到 3 时，我们取出 C[3] 的值 7，说明小于等于 3 的个数为 7 个，那么 3 就应该放在数组 R[8] 的第 7 个位置，也就是下标为 6 的地方。当我们再次遇到 3 的时候，这时候小于等于 3 的元素个数就少了一个，也就是我们要把 C[3] 相应地减去 1 。
之所以要从后到前依次扫描数组，是因为这样之前相同的元素就仍然会保持相同的顺序，可以保证排序算法的稳定性。
当我们扫描完整个数组 A[8] 时，数组 R[8] 中的数据也就从小到大排好序了，其详细过程可参考下图。

桶排序、计数排序和基数排序

代码实现

// 假设数组中存储的都是非负整数
void Counting_Sort(int data[], int n)
{
    if (n <= 1)
    {
        return;
    }

    // 寻找数组的最大值
    int max = data[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        if (data[i] > max)
        {
            max = data[i];
        }
    }

    // 定义一个计数数组, 统计每个元素的个数
    int c[max+1] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        c[data[i]]++;
    }

    // 对计数数组累计求和
    for (int i = 1; i <= max; i++)
    {
        c[i] = c[i] + c[i-1];
    }

    // 临时存放排好序的数据
    int r[n] = {0};
    // 倒序遍历数组，将元素放入正确的位置
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        r[c[data[i]] - 1] = data[i];
        c[data[i]]--;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        data[i] = r[i];
    }

}

2.2. 计数排序的适用范围

计数排序只适用于数据范围不大的场景中，如果数据范围 $K$ 比排序的数据 $n$ 大很多，就不适合用计数排序了。
计数排序能给非负整数排序，如果数据是其他类型的，需要将其在不改变相对大小的情况下，转化为非负整数。比如数据有一位小数，我们需要将数据都乘以 10；数据范围为 [-1000, 1000]，我们需要对每个数据加 1000。

3. 基数排序（Radix Sort）？

假设要对 10 万个手机号码进行排序，显然桶排序和计数排序都不太适合，那怎样才能做到时间复杂度为 $O(n)$ 呢?

1.1. 基数排序原理

手机号码有这样的规律，假设要比较两个手机号码 $a, b$ 的大小，如果在前面几位中，$a$ 手机号码已经比 $b$ 大了，那后面几位就不用看了。
借助稳定排序算法，我们可以这么实现。从手机号码的最后一位开始，分别按照每一位的数字对手机号码进行排序，依次往前进行，经过 11 次排序之后，手机号码就都有序了。
下面是一个字符串的排序实例，和手机号码类似。

桶排序、计数排序和基数排序

根据每一位的排序，我们可以用刚才的桶排序或者计数排序来实现，它们的时间复杂度可以做到 $O(n)$。如果排序的数据有 $K$ 位，则总的时间复杂度为 $O(K * n)$，当 $K$ 不大时，基数排序的时间复杂度就近似为 $O(n)$。
有时候，要排序的数据并不都是等长的，比如我们要对英文单词进行排序。这时候，我们可以把所有单词都补足到相同长度，位数不够的在后面补 ’0‘，所有字母的 ASCII 码都大于 ‘0’，因此不会影响原有的大小顺序。
基数排序需要数据可以分割出独立的位出来，而且位之间有递进的关系。除此之外，每一位的数据范围都不能太大，要可以用线性排序算法来进行排序。

参考资料-极客时间专栏《数据结构与算法之美》

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