函数分类大PK：Sigmoid和Softmax，分别怎么用？
图源：unsplash.com/@harlsta
设计模型执行分类任务（如对胸部X光检查到的疾病或手写数字进行分类）时，有时需要同时选择多个答案（如同时选择肺炎和脓肿），有时只能选择一个答案（如数字“8”）。本文将讨论如何应用Sigmoid函数或Softmax函数处理分类器的原始输出值。
神经网络分类器
分类算法有很多种，但本文讨论的内容只限于神经网络分类器。分类问题可通过不同神经网络进行解决，如前馈神经网络和卷积神经网络。
应用Sigmoid函数或Softmax函数
神经网络分类器最终结果为某一向量，即“原始输出值”，如[-0.5, 1.2, -0.1, 2.4]，这四个输出值分别对应胸部X光检查后发现的肺炎、心脏肥大、瘤和脓肿。但这些原始输出值是什么意思？
将输出值转换为概率可能更容易理解。比起看似随意的“2.4”，患有糖尿病的可能性为91％，这种说法更便于患者理解。
Sigmoid函数或Softmax函数可以将分类器的原始输出值映射为概率。
下图显示了将前馈神经网络的原始输出值（蓝色）通过Sigmoid函数映射为概率（红色）的过程：
然后采用Softmax函数重复上述过程：
如图所示，Sigmoid函数和Softmax函数得出不同结果。
原因在于，Sigmoid函数会分别处理各个原始输出值，因此其结果相互独立，概率总和不一定为1，如图0.37 + 0.77 + 0.48 + 0.91 = 2.53。
相反，Softmax函数的输出值相互关联，其概率的总和始终为1，如图0.04 + 0.21 + 0.05 + 0.70 = 1.00。因此，在Softmax函数中，为增大某一类别的概率，其他类别的概率必须相应减少。
Sigmoid函数应用：
以胸部X光检查和入院为例
胸部X光片：一张胸部X光片能够同时显示多种疾病，因此胸部X射线分类器也需要同时显示多种病征。下图为一张显示肺炎和脓肿的胸部X光片，在右侧的标签栏中有两个“1”：
入院：目标是根据患者的健康档案，判断该患者将来入院的可能性。因此，分类问题可设计为：根据诊断可能导致患者未来入院的病症（如果有的话），对该患者现有的健康档案进行分类。导致患者入院的疾病可能有多种，因此答案可能有多个。
图表：下面两个前馈神经网络分别对应上述问题。在最后计算中，由Sigmoid函数处理原始输出值，得出相应概率，允许多种可能性并存——因胸部X射线可能反映出多种异常状态，则患者入院的病因可能不止一种。
Softmax函数应用：
以手写数字和Iris（鸢尾花）为例
手写数字：在区别手写数字时，分类器应采用Softmax函数，明确数字为哪一类。毕竟，数字8只能是数字8，不能同时是数字7。
Iris：Iris数据集于1936年引入，一共包含150个数据集，分为山鸢尾、杂色鸢尾、维吉尼亚鸢尾3类，每类各有50个数据集，每个数据包含花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度4个属性。
以下9个示例摘自Iris数据集：
数据集中没有任何图像，但下图的杂色鸢尾，可供你欣赏：
Iris数据集的神经网络分类器，要采用Softmax函数处理原始输出值，因为一朵鸢尾花只能是某一个特定品种——将其分为几个品种毫无意义。
关于“e”的注解
要理解Sigmoid和Softmax函数，应先引入 “e”。在本文中，只需了解e是约等于2.71828的数学常数。
下面是关于e的其他信息：
• e的十进制表示永远存在，数字出现完全随机——类似于pi。
• e常用于复利、赌博和某些概率分布的研究中。
• 下面是e的一个公式：
但e的公式不止一个。其计算方法有多种。
• 2004年，谷歌公司首次公开募股达2,718,281,828美元，即“e百万美元”。
• 维基百科中人类历史上著名的十进制数字e的演变（https://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29#Bernoulli_trials），从1690年的一位数字开始，持续到1978年的116,000位数字：
Sigmoid函数和Softmax函数
Sigmoid =多标签分类问题=多个正确答案=非独占输出（例如胸部X光检查、住院）
• 构建分类器，解决有多个正确答案的问题时，用Sigmoid函数分别处理各个原始输出值。
• Sigmoid函数如下所示（注意e）：
在该公式中，σ表示Sigmoid函数，σ（zj）表示将Sigmoid函数应用于数字Zj。 “Zj”表示单个原始输出值，如-0.5。 j表示当前运算的输出值。如果有四个原始输出值，则j = 1,2,3或4。在前面的例子中，原始输出值为[-0.5,1.2，-0.1,2.4]，则Z1 = -0.5，Z2 = 1.2，Z3 = -0.1，Z4 = 2.4。
所以，
Z2，Z3、Z4 的计算过程同上。
由于Sigmoid函数分别应用于每个原始输出值，因此可能出现的输出情况包括：所有类别概率都很低（如“此胸部X光检查没有异常”），一种类别的概率很高但是其他类别的概率很低（如“胸部X光检查仅发现肺炎”），多个或所有类别的概率都很高（如“胸部X光检查发现肺炎和脓肿”）。
下图为Sigmoid函数曲线：
Softmax =多类别分类问题=只有一个正确答案=互斥输出（例如手写数字，鸢尾花）
• 构建分类器，解决只有唯一正确答案的问题时，用Softmax函数处理各个原始输出值。
• Softmax函数的分母综合了原始输出值的所有因素，这意味着，Softmax函数得到的不同概率之间相互关联。
• Softmax函数表述如下：
除分母外，为综合所有因素，将原始输出值中的e ^ thing相加，Softmax函数与Sigmoid函数差别不大。换言之，用Softmax函数计算单个原始输出值（例如Z1）时，不能只计算Z1，分母中的Z1，Z2，Z3和Z4也应加以计算，如下所示：
Softmax函数的优势在于所有输出概率的总和为1：
区分手写数字时，用Softmax函数处理原始输出值，如要增加某一示例被分为“8”的概率，就要降低该示例被分到其他数字（0,1,2,3,4,5,6,7和/或9）的概率。
Sigmoid和Softmax的其他示例
总结
• 如果模型输出为非互斥类别，且可以同时选择多个类别，则采用Sigmoid函数计算该网络的原始输出值。
• 如果模型输出为互斥类别，且只能选择一个类别，则采用Softmax函数计算该网络的原始输出值。
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