最小生成树算法

Oudasheng

2020-04-20

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最小生成树介绍：

修路问题本质就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称MST。

1）给定一个带权的无向连通图，如何选择一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树。

2）N个顶点，一定有N-1条边

3）包含全部顶点

4）N-1条边都在图中

5）求最小生成树的算法主要是Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

应用场景---修路问题

正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，从而保证总里程数最小

Prim算法介绍：

1）Prim算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

2）Prim算法如下：

（1）设G = （V，E）是连通网，T = （U，D）是最小生成树，V，U是顶点集合，E、D是边的集合

（2）若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1

（3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui，vj）加入集合D中，标记visited[vj] = 1

（4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

给个例题理解一下：

问题描述

2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
　　这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
　　现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
　　小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
　　sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
　　在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
　　由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
　　接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。

输出格式

输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。

样例输入

4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4

样例输出

17.41

评测用例规模与约定

对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
　　对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
　　对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。

例题：户户通电

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static class Node {
        int x;
        int y;
        int h;
    }

    public static void main(String[] args) {
        //输入
        Node[] nodes = new Node[1002];
         
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            nodes[i]=new Node();
            nodes[i].x = sc.nextInt();
            nodes[i].y = sc.nextInt();
            nodes[i].h = sc.nextInt();
        }
        sc.close();
        //初始化数组
        double[][] map = new double[n + 2][n + 2];
        double[] mins = new double[n + 2];    //这个最后是用来保存最小值的
        double MAX = 0x7f7f7f7f;
        for (int i = 0; i <= n+1; i++) {
            for (int j = 0; j <=n+1; j++) {
                
             
                 map[i][j]=MAX;
                
            }
            mins[i] = MAX;
        }
        //先找到每个值的最短路
        
        for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            double    x = (nodes[i].x - nodes[j].x) * (nodes[i].x - nodes[j].x);
            double    y = (nodes[i].y - nodes[j].y) * (nodes[i].y - nodes[j].y);
            double    h = (nodes[i].h - nodes[j].h) * (nodes[i].h - nodes[j].h);
            double temp=Math.sqrt(x+y)+h;
            map[i][j]=Math.min(map[i][j],temp );
            map[j][i]=map[i][j];
            }
        }
        //然后图算法公式
        boolean[] vis = new boolean[n+2];
        mins[1]=0;
        for (int i = 1; i <n; i++) {
            int tempX=0;
            for (int j = 1; j <=n; j++) {
                if(!vis[j] &&(tempX==0|| mins[j]<mins[tempX])){
                    tempX=j;
                }
            }
            vis[tempX]=true;
            for (int j = 1; j <=n; j++) {
                if(!vis[j]){
                    mins[j]=Math.min(mins[j], map[tempX][j]);
                }
            }
        }
        double result=0.0;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            result+=mins[i];
        }
        System.out.println(result);
    }

}

结果代码

最小生成树算法

Kruskal算法

应用场景---公交站问题

Kruskal算法介绍：

1）是用来求加权连通图的最小生成树算法

2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

3）具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

Kruskal算法重点需要解决的两个问题：

问题一对图的所有边按照权值大小进行排序

问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可

问题二，处理方式是：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

关于终点的说明：

1）就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列（单纯指的就是顶点的大小）好之后，某个顶点的终点就是“与它连通的最大顶点”。

2）判断回路的方式。我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

下面的“边”类仅供参考。

//该类EData 的对象实例就表示一条边
class EData{
    char start;//边的一个点
    char end;//边的另外一个点
    int weight;//边的权值
    public EData(char start,char end,int weight){
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
    
    //重写 toString ，便于输出
    public String toString(){
        return "EData[<"+start+","+end+"> = "+weight+"]";
    }
}

“边”类代码

最小生成树顶点坐标