查找最小生成树：克鲁斯克尔算法（Kruskal）算法
一、算法介绍
Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树（minimum spanning tree，简称MST）。生成树的权重是赋予生成树的每条边的权重之和。最小生成树具有 (V – 1) 个边，其中 V 是给定图中的顶点数。关于最小生成树，它可以应用在网络设计、NP难题之类的问题，还可以用于聚类分析，还可以间接应用于其他问题。
二、Kruskal算法查找MST的步骤
按权重的顺序方式来对所有边进行排序。
选择权重最小的边。检查它是否与形成的生成树形成一个循环。如果未形成循环，则包括该边。否则，将其丢弃。
重复步骤2，直到生成树中有（V-1）个边。
这个算法是贪婪算法。“贪婪的选择”是选择迄今为止不会造成MST成环的最小的权重边。下面来一个例子来理解：
该图包含9个顶点（V）和14个边（E）。因此，形成的最小生成树将具有（9 – 1）= 8 个边。
步骤1：每条边按顺序来排序
/**
* 排序后：
* 权重-src-dest
* 1 6 7
* 2 2 8
* 2 5 6
* 4 0 1
* 4 2 5
* 6 6 8
* 7 2 3
* 7 7 8
* 8 0 7
* 8 1 2
* 9 3 4
* 10 4 5
* 11 1 7
* 14 3 5
*/步骤2+步骤3：：利用按权重排好序的边数组，每次选取最小边，并检测是否成环。MST不能有环，所以这里涉及一个并查集的概念，并查集是对这个 Kruskal 算法进行优化的。
1）数组中一个接一个地选取所有边。选取边6-7：不形成循环，将其包括在内。
2）选取边2-8：不形成循环，将其包括在内。
3）选取边5-6：不形成循环，将其包括在内。
4）选取边0-1：不形成循环，将其包括在内。
5）选取边2-5：不形成循环，将其包括在内。
6）选取边6-8：由于包括该边会导致成环，因此将其丢弃。
7）选取边2-3：不形成循环，将其包括在内。
8）选取边7-8：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
9）选取边0-7：不形成循环，将其包括在内。
10）选取边1-2：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
11）选取边3-4：不形成循环，将其包括在内。
由于包含的边数等于（V – 1），因此算法结束。
三、算法代码
并查集：
在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作：
Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。Union：将两个子集合并成同一个集合。
并查集树是一种将每一个集合以树表示的数据结构，其中每一个节点保存着到它的父节点的引用。
在并查集树中，每个集合的代表即是集合的根节点。“查找”根据其父节点的引用向根行进直到到底树根。“联合”将两棵树合并到一起，这通过将一棵树的根连接到另一棵树的根。实现这样操作的一种方法是：
查找元素 i 的集合，根据其父节点的引用向根行进直到到底树根：
private int find(Subset[] subsets, int i) {
if (subsets[i].parent != i)
subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面
return subsets[i].parent;
}将两组不相交集合 x 和 y 进行并集，找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它：
public void union(Subset[] subsets, int x, int y) {
int xroot = find(subsets, x);
int yroot = find(subsets, y);
/* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */
if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) {
subsets[xroot].parent = yroot;
} else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){
subsets[yroot].parent = xroot;
} else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1
subsets[yroot].parent = xroot;
subsets[xroot].rank++;
}
}同时使用路径压缩、按秩（rank）合并优化的程序每个操作的平均时间仅为 O(α (n))，其中α (n) 是 n=f(x)=A(x, x) 的反函数，A 是急速增加的阿克曼函数。因为 α(n) 是其反函数，故 α (n) 在 n 十分巨大时还是小于 5。因此，平均运行时间是一个极小的常数。实际上，这是渐近最优算法。
Kruskal算法
使用算法的思想来构造MST。
/**
* 使用Kruskal算法构造MST
*/
public void kruskalMST() {
Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST
int e = 0; // 用于result[]的索引变量
int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量
for (i = 0; i < V; ++i) {
result[i] = new Edge();
}
/* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */
Arrays.sort(edges);
/* 创建V个子集*/
Subset[] subsets = new Subset[V];
for (i = 0; i < V; i++) {
subsets[i] = new Subset();
}
/* 使用单个元素创建V子集 */
for (int v = 0; v < V; v++) {
subsets[v].parent = v;
subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0
}
/* 用于挑选下一个边的索引 */
i = 0;
while (e < V-1) {
/* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */
Edge next_edge = edges[i++];
int x = find(subsets, next_edge.src);
int y = find(subsets, next_edge.dest);
/* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */
/* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */
if (x != y) {
result[e++] = next_edge;
union(subsets, x, y);
}
/* 否则丢弃next_edge */
}
/* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */
System.out.println("Following are the edges in the constructed MST");
for (i = 0; i < e; ++i) {
System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight);
}
}平均时间复杂度为O (|E|·log |V|)，其中 E 和 V 分别是图的边集和点集。
本文源代码：
package algorithm.mst;
import java.util.Arrays;
public class KruskalAlgorithm {
/* 顶点数和边数 */
private int V, E;
/* 所有边的集合 */
private Edge[] edges;
/**
* 创建一个V个顶点和E条边的图
*
* @param v
* @param e
*/
public KruskalAlgorithm(int v, int e) {
V = v;
E = e;
edges = new Edge[E];
for (int i = 0; i < e; i++) {
edges[i] = new Edge();
}
}
/**
* 查找元素i的集合（路径压缩）
* 根据其父节点的引用向根行进直到到底树根
*
* @param subsets
* @param i
* @return
*/
private int find(Subset[] subsets, int i) {
if (subsets[i].parent != i)
subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面
return subsets[i].parent;
}
/**
* 将两组不相交集合x和y进行并集（按秩合并）
* 这个方法找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它。
* <p>
* 并查集树的最基础的表示方法，这个方法不会比链表法好，
* 这是因为创建的树可能会严重不平衡。
* 所以采用“按秩合并”来优化。
* </p>
* <p>
* 即总是将更小的树连接至更大的树上。因为影响运行时间的是树的深度，
* 更小的树添加到更深的树的根上将不会增加秩除非它们的秩相同。
* 在这个算法中，术语“秩”替代了“深度”，因为同时应用了路径压缩时秩将不会与高度相同。
* </p>
*
* @param subsets
* @param x
* @param y
*/
public void union(Subset[] subsets, int x, int y) {
int xroot = find(subsets, x);
int yroot = find(subsets, y);
/* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */
if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) {
subsets[xroot].parent = yroot;
} else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){
subsets[yroot].parent = xroot;
} else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1
subsets[yroot].parent = xroot;
subsets[xroot].rank++;
}
}
/**
* 使用Kruskal算法构造MST
*/
public void kruskalMST() {
Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST
int e = 0; // 用于result[]的索引变量
int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量
for (i = 0; i < V; ++i) {
result[i] = new Edge();
}
/* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */
Arrays.sort(edges);
/* 创建V个子集*/
Subset[] subsets = new Subset[V];
for (i = 0; i < V; i++) {
subsets[i] = new Subset();
}
/* 使用单个元素创建V子集 */
for (int v = 0; v < V; v++) {
subsets[v].parent = v;
subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0
}
/* 用于挑选下一个边的索引 */
i = 0;
while (e < V-1) {
/* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */
Edge next_edge = edges[i++];
int x = find(subsets, next_edge.src);
int y = find(subsets, next_edge.dest);
/* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */
/* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */
if (x != y) {
result[e++] = next_edge;
union(subsets, x, y);
}
/* 否则丢弃next_edge */
}
/* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */
System.out.println("Following are the edges in the constructed MST");
for (i = 0; i < e; ++i) {
System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight);
}
}
public static void main(String[] args) {
/**
* 排序后：
* 权重-src-dest
* 1 6 7
* 2 2 8
* 2 5 6
* 4 0 1
* 4 2 5
* 6 6 8
* 7 2 3
* 7 7 8
* 8 0 7
* 8 1 2
* 9 3 4
* 10 4 5
* 11 1 7
* 14 3 5
*/
int V = 9;
int E = 14;
KruskalAlgorithm graph = new KruskalAlgorithm(V, E);
/* 另一个用例的图:
1 --- 2 --- 3
/ | | \ | 151 0 | 8 \ | 4
\ | / | \ | /
7 --- 6 --- 5
*/
// 添加边 0-1
graph.edges[0].src = 0;
graph.edges[0].dest = 1;
graph.edges[0].weight = 4;
// 添加边 0-7
graph.edges[1].src = 0;
graph.edges[1].dest = 7;
graph.edges[1].weight = 8;
// 添加边 1-2
graph.edges[2].src = 1;
graph.edges[2].dest = 2;
graph.edges[2].weight = 8;
// 添加边 1-7
graph.edges[3].src = 1;
graph.edges[3].dest = 7;
graph.edges[3].weight = 11;
// 添加边 2-3
graph.edges[4].src = 2;
graph.edges[4].dest = 3;
graph.edges[4].weight = 7;
// 添加边 2-5
graph.edges[5].src = 2;
graph.edges[5].dest = 5;
graph.edges[5].weight = 4;
// 添加边 2-8
graph.edges[6].src = 2;
graph.edges[6].dest = 8;
graph.edges[6].weight = 2;
// 添加边 3-4
graph.edges[7].src = 3;
graph.edges[7].dest = 4;
graph.edges[7].weight = 9;
// 添加边 3-5
graph.edges[8].src = 3;
graph.edges[8].dest = 5;
graph.edges[8].weight = 14;
// 添加边 4-5
graph.edges[9].src = 4;
graph.edges[9].dest = 5;
graph.edges[9].weight = 10;
// 添加边 5-6
graph.edges[10].src = 5;
graph.edges[10].dest = 6;
graph.edges[10].weight = 2;
// 添加边 6-7
graph.edges[11].src = 6;
graph.edges[11].dest = 7;
graph.edges[11].weight = 1;
// 添加边 6-8
graph.edges[12].src = 6;
graph.edges[12].dest = 8;
graph.edges[12].weight = 6;
// 添加边 7-8
graph.edges[13].src = 7;
graph.edges[13].dest = 8;
graph.edges[13].weight = 7;
graph.kruskalMST();
/* 用例通过算法得出的MST如下:
1 2 -- 3
/ | \ 231 0 8 \ 4
\ 233 7 -- 6 -- 5
*/
}
/**
* 每条边的信息，实现了{@link Comparable}接口,
* 可以使用{@link Arrays}的方法随其边的权重的集合进行自然排序。
*/
class Edge implements Comparable<Edge> {
/* 这条边的两个顶点和它的权重 */
private int src, dest, weight;
@Override
public int compareTo(Edge o) {
return this.weight - o.weight;
}
}
/**
* 联合查找子集的类
*/
class Subset {
/* 其祖先和秩 */
private int parent, rank;
}
} 相关推荐
一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。