工业机器人工具坐标系（TCF）标定的六点法原理
一、基本步骤
（1）在机器人动作范围内找一个非常精确的固定点作为参考点；
（2）在工具上确定一个参考点（最好是工具中心点Tool Center Point, TCP）;
（3）手动操纵机器人的方法移动TCP，以四种不同的工具姿态与固定点刚好碰上。
??前三个点任意姿态，第四点是用工具的参考点垂直于固定点，第五点是工具参考点从固定点向将要设定的TCP的x方向移动，第六点是工具参考点从固定点向将要设定的TCP的在z方向移动，如下图所示：
（4）通过前4个点的位置数据即可计算出TCP的位置，通过后2个点即可确定TCP的姿态
二、标定过程
1、TCP位置标定
??假设取1、2、3、4四个标定点之间相差90°且不在同一平面上，如下图所示：
??给定如下坐标系定义：
【1】基坐标系(0坐标系)：B
【2】末端坐标系：E
【3】工具坐标系：T
??给定如下变换矩阵定义：
【1】末端坐标系 E 相对于基坐标系 B的变换关系 ：\(^{B}_ {E}T\)
【2】工具坐标系T 相对于末端坐标系 E的变换关系 ：\(^{E}_ {T}T\)
【3】工具坐标系T 相对于基坐标系 B的变换关系 ：\(^{B}_ {T}T\)
??显然可以知道：
$$^{B}_ {E}T · ^{E}_ {T}T = ^{B}_ {T}T \tag{1}$$
??对于选定位置点 i = 1、2、3、4，有：
??【1】\(^{B}_ {E}T\)不等，设：
??【2】\(^{E}_ {T}T\)不等，但其位置\(^{E}P_ {T}\)相等，设：
??【3】\(^{B}_ {T}T\) 不等，但其位置\(^{E}P_ {T}\)相等，设：
??关注公式(2)、(3)、(4)中加粗符号，有：
??在实际中，\(^{B}_ {E}T\) 由机器人正解方程可以直接测得，因此，我们直接读取四个位置点的姿态\(^{B}_ {E}R_ {i}\)和位置\(^{B}P_ {Ei = 1, 2, 3, 4}\)。假设：
??则，(6) - (7)得：
??同理可得：
??由(8)、(9)、(10)可得：
??由于\(^{E}P_ {T}\)为 3x1 列向量，而等式右边为 9x3的矩阵，因此方程(11)为不相容方程组，不可直接用非齐次线性方程组求解的方法或者solve求解。采用最小二乘法的矩阵形式，因其系数矩阵不是方阵，不可直接求逆， 因此使用广义逆。采用高斯消元法得到：
??则式(12)所求得的\(^{E}P_ {T}\)即为TCP的位置向量。
2、TCF姿态标定
??在第1部分已经得到工具坐标系(TCF)的位置，而计算TCP姿态采用z/x方向标定。
??此过程中TCF的姿态保持不变(如第一节 -- 基本步骤中图所示)。取第一个姿态标定点为位置点4（下图记作标定点1）；机器人从位置点4出发，沿+x方向移动一定距离得到位置点5（下图记作标定点2)；机器人从位置点4出发，沿+z方向移动一定距离得到位置点6(下图记作标定点3）。如下图所示：
??由于3个标定点中的TCF姿态不变，故\(^{B}_ {E}R_{i = 4,5,6}\)均相等，且由(12)得 \(^{E}P_ {T}\) 保持不变，故可得到工具坐标系 T 的 x 轴轴向向量 \(X\) ，且：
??同理，可得到工具坐标系 T 的 z 轴轴向向量 \(Z\) ，且：
??进而由右手定则得工具坐标系 T 的 y 轴轴向向量 \(Y\) ：
??为进一步保证坐标系矢量的正交性，重新计算\(Z\) ：
??将(13)、(15)、(16）单位化得到\(X^{‘}, Y^{‘}, Z^{‘}\)，得到工具坐标 T 相对于基坐标 B 的姿态\(^{B}_ {T}R\)，且
??又末端坐标系 E 旋转矩阵为\(^{B}_ {E}R\)，且：
??故由(17)、(18)即可得到工具坐标系的旋转矩阵\(^{E}_ {T}R\)，即：
3、TCF标定结果
??由(12)和(19)，可得到工具坐标系 \(^{E}_ {T}T\) 标定为：
??显然，TCF六点法标定的最小条件是能够获取到6个位置点的位姿\(^{B}_ {E}T_{i=1,2,3,4,5,6}\)，且为使式(12)能求解，应保证位置点1，2，3，4不在同一平面上。
三、参考文献
【1】康存锋，王红伟，张鹏飞等.焊接机器人工具坐标系标定的研究与实现[j].北京工业大学学报 2016, 42(1).
【2】兰虎等.《工业机器人技术及应用》.